확률이 50%인 상황에서도 돈이 줄어들 것 같은 느낌은 매우 직관적이며, 이를 설명하는 수학적 개념들이 존재합니다. 

특히, 반복적인 베팅 상황에서 돈이 줄어들 확률을 설명할 수 있는 중요한 개념으로는 마팅게일(Martingale) 전략과 

도박사 파산 문제(Gambler’s Ruin Problem)가 있습니다.

1. 마팅게일 전략 (Martingale Strategy)와 기대값

마팅게일 전략은 베팅에서 패배할 때마다 배팅 금액을 두 배로 늘려서 결국 승리하면 손실을 만회하고 이익을 얻는 방법입니다. 

이 전략은 기본적으로 확률이 50%인 게임에서 자주 논의되지만, 수학적으로 큰 결함이 있습니다.

만약 베팅 금액이 무한정 늘어날 수 있다면, 결국 한 번은 이겨서 모든 손실을 복구할 수 있을 것입니다.

그러나 현실에서는 자금이 유한하고, 결국 일정한 한계에서 파산할 가능성이 높습니다.

수학적으로 보면, 승리 확률이 50%일지라도, **파산할 확률은 100%**에 가깝습니다. 

이는 무한한 자본을 가지지 않는 이상, 반복적인 베팅에서 결국에는 파산하게 되는 구조를 따릅니다.

2. 도박사 파산 문제 (Gambler’s Ruin Problem)

도박사 파산 문제는 확률이 50%일 때, 참가자가 돈을 걸고 계속 베팅을 하면 결국 돈을 모두 잃을 확률이 높다는 것을 설명하는 문제입니다. 

도박사 파산 문제는 두 가지 주요 요소를 기반으로 설명할 수 있습니다:

초기 자본: 참가자가 시작할 때 가진 자본이 파산할 때까지 버틸 수 있는 정도.

무한 반복: 베팅이 무한히 반복되면 결국 패배해서 자본이 0이 될 가능성이 높아집니다.

도박사 파산 문제에서, 만약 플레이어가 무한히 베팅을 계속한다면, 비록 각각의 베팅에서 승패 확률이 50%라고 해도, 

결국에는 거의 확실히 파산하게 됩니다. 이는 수학적으로 증명할 수 있으며, 그 과정은 다음과 같이 요약됩니다:

도박사 파산 문제에서는 승리 확률이 50%라도, 참가자가 가진 자본이 유한하기 때문에 언젠가는 자본이 0에 도달할 가능성이 커집니다.

초기 자본이 클수록 파산까지 시간이 오래 걸릴 수 있지만, 장기적으로는 파산할 가능성이 1에 수렴합니다.

결론

확률이 50%인 게임에서도 돈을 반복적으로 걸면 결국 파산할 가능성이 매우 높다는 것은 수학적으로 증명할 수 있습니다. 

이는 하우스 엣지가 없는 공정한 게임일지라도, 무한히 베팅을 하면 결국에는 돈을 모두 잃게 되는 구조로 설명할 수 있습니다.