여기 보니까 수리과 석사 이상 한 분들이나 수학 좀 덕후 이상으로 오래 한 분들 잇고 교육 쪽에 나름 견해나 식견 있는 분들 많은데 

먼저 요지는,

몇달전 고등학교 미적분 얘기 나와서 말인데, 한국 아니더라도 미국에서는 고딩에서 프리칼이랑 ap 레벨 미적만 배우잖아

거기는 고딩 미적을 따로 어떻게 가르치는지, 뭐 일본 중국 싱가폴 한국 홍콩 정도 보면 고등학교 수준에서 한국 미적분 가르치는거 합리적인거 같음

1. 개요

까놓고 말해서 고등학교 레벨에서는 적분은 그냥 미분 역연산으로 배우고 미적분 기본정리나 관련된거 좀 있어도 대학교 미적 와야 평균값정리 중간값정리 쓰면서

제대로 하는거잖아. 미분 안쓰고 리만 썸 만으로 적분 계산하고 그런거는 그냥 재미삼아 시험문제로 나오는 정도고 

그런 식으로 적분은 미분되는거 폼 외우는거에 약간은 치환적분 부분적분 그런서 쓰지만 기본적으로 그게 되는것도 정적분을 계산하는게 아니라

미분 역으로 나오도록 계산하는거라서 역미분이 있는 함수를 가져와서 문제로 풀리도록 내기 때문에 가능한거

즉 고등학교 미적분은 정확히는 미분일 뿐이고, 무조건 미분으로 답이 나오고 부정적분 함수로 뭐 빼기 뭐로 값을 구하는 정적분 문제만이 나옴. improper는 개념적으로는 없다고봐도.

2. 한국 등 동아시아에서 고등학교 미적분의 장단점

그러면 그 미분은 뭐냐, 이게 고등학교 미분의 핵심이라고 봄. 그냥 외워서 계산하는 산수로서의 미분만 가르침

당장 외우는 공식만 다항식 지수 로그 라디칼 유리함수 삼각함수 정도에 그 조합들 아닐까

막 임의로 정의하는 함수는 약간은 있지만 주로 piecewise c1 정도까지만 나오지, 대충 정해진 함수 조합정도

동아시아 쪽에서 그정도로 미적분 정확히는 미분까지 애매하게 가르치는게 뭘까. 그냥 산수로서의 미적분을 가르치는거임

어차피 limit을 엄밀하게 정의하고 준 해석학 레벨로 대학교 미적을 가르치지 않으면 수학으로서의 미적분, 대학생 레벨의 미적분은 사상누각임

고등학교 레벨에서 해석학 직전의 수학 내용을 가져와서 쓰기도 어렵거니와 다들 생각해보면 한국 일반 고교 과정에서 실수를 정의한 적이 없다는걸 알거야

그렇기 때문에 그 정도 선에서 대충 일반인 교양을 위한 미분 정의는 그 뿐임. 그리고 적분은 미분 역연산으로만 얼렁뚱땅 가르치는거.

장점은 당연히 필요한 정도로 정의를하고 계산은 할수 잇고 뭔가가 잇어서 써먹을수는 있고 일반물리 화학 경제 배우는 건 가능

단점은 내 생각에는 크게는 없음. 딱 하나는 삼각함수 라디칼 유리함수 다항식은 그럴듯 한데 지수 로그는 원래 프리칼 레벨에서 배우는게 맞나 모르겟음

비슷한 이유로 나는 행렬 디터미넌트 같은거 억지로 고딩 때 가르치는 거 이유를 모르겟음. 의미를 모르고 걍 계산기로서만 배우잖아. 존나 의미 1도 없고 시간낭비거든

수학은 원래 계산이 아니고 산수로서 수학을 배우는건 최악의 방법이니까.

그나마 고딩 미적분의 장점은 미적분을 쓰기는 하되 이해를 필요하지 않는 사람에게 필요한 정도까지만 가르친다는 그경계선 정도.

3. 고교 미적분은 본질적인 계산이 불가능함. 그냥 문제 꼬고 더티로 가는이유임

기울기 라는 개념 정도로만 배우지. 지수 로그가 문제인건 그거 함수를 제대로 정의도 안하면서 가져다 쓴다는거야. 그 정의를 하려면 미적분을 무조건 써야되거든

삼각함수나 라디칼 유리함수 미분도 생각해보면 그냥 공식을 외우거나, 기본 리밋 계산도 대충 분모분자 나눠서 약분하면서 분모에 0 없게만 나눠지면 

이후에 대입해서 값 나온다는, 즉 연속성을 오히려 가져와서 역으로 리밋 계산에 쓰지. 원래 엄밀한 정의를 사용하지를 못한다는거기 때문에

그래서 고교 수능 미적에서는 대충 끄적거리고 찌질한 문제로밖에 나올수 없음. 

이게 애매한게, 그리고 불쌍한게, 할려면 과고식으로 대학 미적으로 가던가, 아니면 걍 미적 모르는채로 대학가는게 나을수도

애매하게 배우면 배우는 의미만 두고 넘겨야되는데 그걸 시험으로 환산하려니 내신이나 수능이 시간낭비, 의미없는 수능영어식 공부가 되니까.

그래서 결론은 아래서 누가 미적분 배우는게 어렵냐고 했는데

내 답은 배우지를 않는다는거야. 그냥 산수라고 생각하고 더하기 빼기 곱하기 다음 뭔가 라고 생각하고 함수에서 정의하는 연산으로 배우는 정도임.

이해가 없고 대충 암기에 오히려 가깝고 그러니 그냥 계산이라고 생각하고 배우면 좋을거 같음

그 레벨에서는 미분은 미분 공식을 유도하기 위한 과정에 불과하고 그 이후는 계산 계산 계산. 그니까 산수.

미분의 사칙연산과 곱/quotient 공식, 소위 라이프니츠 룰과 composition을 쓰고 나서는 써먹고 계산만함. 그거 증명 못하는사람이 더 많을걸?

즉 algebra of limit/derivative 를 배우는게 그 목표인거. 그래서 같잖은 로피탈 외워서 무지성으로 계산만 하는거잖아

4. 마지막으로 고등학교의 미적분은 해석적인 미분이 아니라 대수적인 미분.

미적분에서는 처음으로 실수를 정의하고 neighborhood 를 정의하고 미분을 정의함

근데 그 이후부터가 진짜인데 거기서는 미분을 limit으로 정의하지만 

수학의 각 분야로 가면 derivative의 의미가 다 다름

해석학에서는 미분해서 미방 같은데 쓰는거고 일반적인 total derivative 나 기하적으로는 generator라는 의미가 있고, 

미분위상쪽이나 기하에서는 form으로서의 의미가 있고 다이브 컬 같은 미분위상적인 개념이 되고

리만기하나 메트릭에서는 connection이나 변화량으로서 등등

하지만 그런 개념을 까고 미분을 보면 대수적인 미분이거든

전혀 놀랍지 않은 사실이지만 실수 개념이나 연속성 limit 없이도 대수적으로만 미분을 정의할 수 있음

가령 ring위의 다항식에 대해서도 linearity랑 라이프니츠 룰로 도함수를 정의하고 실제 미분이랑 일치함

이외에도 더 일반적으로 미분을 정의하고 정수론이나 대수에서 써먹을수 있음

다항식에서 정의되면 무한급수에서도 정의되니까 limit 계산 단 한번만으로 다항식 유리함수 삼각함수 지수 로그 루트 다 계산이 가능한게 그런거임.