과학을 함에 수학은 앰창 존나 많이 쓰인다(짤은 슈뢰딩거 방정식을 유도하는 과정의 일부)

비단 자연과학뿐인가 폰 노이만의 게임이론이 사회학에 미친 영향은 어디서 부터 말해야 할지 감조차 잡을 수가 없다

여기서 끝이 아니다 철학에서조차 수학이 너무 많이 쓰여 이젠 철학과 수학을 구분할 수 없는 지경에 왔다

"근데 이게 어떻게 가능하지?"

이게 우리의 물음이다

우리가 처음 수학을 배웠을 때를 떠올려보자

"이건 덧셈이란 거에요~"란 슨상님의 말에

"덧셈이 어떻게 가능할 수 있습니까?"라 묻는 다면

그냥 수학자들이 그렇게 정했다, 고까우면 니가 수학자 하든가 라는 답이 돌아온다

사실 틀린 말이 아니다(8살 아이에게 페아노 공리계의 인식론적 정당성을 설명할 수는 없지 않은가)

무튼

수학은 여기서 시작한다 증명 없이 텅 비어 공허하게 참인 명제인 공리를 상상하는 것 부터

이 공리에서 순수하게 연역적으로 뻗어나가는 게 수학이다

이제 슬슬 이상한 점이 보이는가?

마치 소설가가 허구의 인물을 지어내어 이야기를 만드는 것처럼

수학자들도 허구의 개념과 기호들을 도입해 설정딸을 치는 것과 별반 달라보이지 않는다

하지만 이 설정딸이 이뤄낸 것들을 보면

설정딸이 아닌 설정섹스(질싸포함)라 부르는 게 더 정확해 보인다

도대체 우리는 어떻게 설정섹스를 할 수 있단 말인가! 나는 그냥 섹스조차 하지 못했는데!!!

철학계의 호감고닉

보추를 사랑하는 플라톤톤정해병이다

플라톤도 위와 같은 질문을 했는데

그의 저서 메논에서 이에 관한 사유를 들여다 볼 수 있다

여기선 소크라테스에게 기하학을 가르침 받는 노예 소년의 이야기가 나온다

한 변을 2피트로 하는 정사각형의 넓이의 두배가 되게하는 정사각형을 작도하라

소크라테스는 이 문제를 소년에게 천천히 설명해준다

그리고 소년은 "어떤 정사각형의 넒이의 두배가 되는 정사각형은 원래 정사각형의 대각선의 길이와 한 변의 길이가 같다"

즉 피타고라스정리의 일부분을 스스로 알아낼 수 있게 된다

여기서 주목해야할 점은 이제 소년은 이 증명을 아는 것 만으로도

한 변의 길이가 얼마든 그 정사각형 넓이의 두 배가 되는 정사각형을 작도 할 수 있다는 것

"두 정사각형에 관해 한 정사각형이 다른 정사각형의 두 배인가?"라는 질문을 수치 관계 하지 않고 "측정없이" 답할 수 있게 됨

플라톤이 말하고자 하는 지점은 바로 이건데

소년은 분명 위 수학적 개념의 예화 중 하나를 관찰 했을 뿐인데 볼 수도 없고 만질 수도 없는 피타고라스의 정리를 어떻게 알았다는 거냐 바로 이것

현대의 일반인들은 "그냥 원리를 이해한 거 잖아" 라고 말하겠지만

플라톤은 그 원리라는 걸 어떻게 알았냐 바로 이 지점을 말하는 거라는 걸 알아야한다

(그 당시에는 인지심리학 같은 게 없었다는 것 또한 알아두자)

우리 앞에 어떤 물체 있다면 우린 우리 앞에 그 물체가 있다는 걸 어떻게 알지?

감각기관 즉 눈을 통해 확인한다

하지만 이 원리라는 건? 도대체 어떤 감각기관을 통해서 확인 되는 거지?

만약 감각기관을 통해 확인 할 수 있는 물리적 실체가 아니라면, 우리는 어떻게 이를 아는 거지?

여기서 등장하는 것이 그 유명한 플라톤의 이데아론이다

"시공간에 관계없이 불변하며 절대적이고 보편적인 세계의 본질로서 존재하는 천상의 세계가 있고 이를 이데아라고 하자"라는 게 이데아론의 첫 시작인데 여기서 더 나아가

우리 개개인의 절대적 본질로서 이데아 또한 존재하며 우리 또한 본래 이데아의 존재였기에 이데아에 관한 지식이 흐릿하게나마 남아있고

우리는 이를 이성으로서 명료화 시킬 수 있다 이게 철학이 해야 할 일 이다

이게 플라톤이 생각하는 세계였음 그리고 수학의 존재가 바로 이 이데아의 지식이었다는 거지

소년이 피타고라스의 정리를 알 수 있었던 이유 또한 알 수 있는데

노예라 하지만 소년 또한 본래 이데아의 존재였고 이 흐릿한 이데아의 지식이 피타고라스가 보여준 사례를 통해 상기된 것 뿐 이라고 하면 모든 것이 맞아떨어진다

바로 이게 플라톤의 수리철학이올시다!

이에 의하면 수학은 허구적인 설정딸이 아니라 진짜로 존재하는 것들

그것도 존나 개쩔게 존재하는 것들에 관한 지식이다

따라서 우리가 수학을 연구한다는 건 마치 고고학자처럼 이성을 통해 이데아의 지식을 발굴하는 것과 같은 것이라 할 수 있겠고

수학을 통해 과학을 할 수 있는 이유는 설명할 필요도 없이 자명하게 된다

그리고 이를 현대에선 "수학적 플라톤주의" 또는 "수학적 실재론"이라고 부른다

플라톤 사후 약 1900년 후 미친 올라운더 천재 한 명이 인식론의 시대를 열고, 철학의 주체를 주관으로 돌리면서

"절대적 진리"라는 존재에 의구심이 제기된다

이 글을 보고있는 싱붕이들이라면 통속의 뇌가 뭔지 다 알것이다

"우리가 감각하는 건 전기자극에 의존하는데 그건 외부에 의해 조작되기 너무 쉬운 것 아닌가 그렇담 물질세계에 관한 지식을 우리가 어떻게 확신할 수 있는가?"

이 논의의 시초가 데카르트다 (방법론적 회의를 여기서 설명하진 않겠다)

물론 데카르트는 부정한 건 감각 말고도 수학적 진리마저 부정했다 "사실 1+1=523인데 어떤 초월적 존재가 우리의 의식을 조작해서 1+1=2라고 알게했다면?"

이런 발상이다

사실 데카르트를 깊게 논하지 않아도 이 글을 읽는데 무리는 없다

무튼 이렇게 플라톤이 깊게 뿌리박아둔 "진리와 진리가 아닌 것"이라는 이원론적 세계관에 금이 가기 시작한다

(이후 플라톤의 민심은 니체의 이게 다 플라톤 때문이다 시전 후 완전히 운지했다)

이 남자는 임마누엘 칸트 근현대철학의 GOAT라고 보면 된다

거대한 게임체인저의 등장으로 수리철학은 꽤나 큰 변화를 겪게 되는데

우선 그의 대표 저서인 "순수이성비판"의 내용을 조금 알아야한다

순수이성비판에서 칸트는 지식에는 몇가지 속성이 있다고 한다

종합 그리고 분석

종합적 참-참임을 알기위해 경험을 필요로하는 지식

"노무현은 살아있다") 노짱이 살았는지 죽었는지는 직접 확인해야 알 수 있다

분석적 참-참임을 알기위해 경험을 필요로하지 않는 지식

"씨발갑은 박원순이다") 박원순한테 가서 "당신이 씨발갑입니까?"라 묻지 않아도 위 명제는 참이다

후험 그리고 선험

후험- 인간이 경험을 통해 안 지식들은 대부분 상대적인 특징을 지니는데 이러한 지식을 이르는 말이다

"김대중은 개새끼다") 이 명제는 받아들이는 주체의 주관에 의해 참일 수도 거짓일 수도 있다

선험- 이건 주관의 상관없이 절대적으로 참인 명제로

"5차 이상의 다항방정식은 근의공식을 구할 수 없다" 이건 어떤 주체가 받아들이든 참일 수 밖에 없다

여기서 칸트의 수학에 관한 의견이 등장하는데

수학적 지식은 선험적이며 동시에 종합적이다라 주장한다

즉 주관에 진리값이 영향받지 아니하며 경험에 의해 진리값을 판단할 수 있는 명제

즉 어느 주관에서나 참 거짓이 똑같다는 거다

선험이란 속성에 관해 말해보자면

일단 선험성이란 건 다음 두 성질이 성립해야한다

보편성-명제의 진리값이 명제의 논리적 구조에 의존

필연성-명제의 반대가 불가능함

수학은 그 구조상 이 두 성질이 모두 성립한다

(필연이란 양상논리의 의미에서 필연인데 설명하자면 너무 많이 복잡하니 그냥 넘어가자....)

그리고 종합에 관해서도 설명하자면

종합의 반대 분석적이란 건 A는B이다에서 B가 그 정의에서 A를 포함하는 경우로

"모든 총각은 남자이다"이런 걸 의미하는 것

근데 수학은 이 분석적인 특징을 만족하지 못하니 종합적이란 것

7+5=12에서 12라는 개념이 7과5로 정의되는 게 아니기 때문

(이에 관해선 많은 반론이 있다)

수학이 선험적종합이란 바로 이런 걸 말하는 것이다

그래서 칸트는 이 난해한 정의로 뭘 말하고 싶은 건가 하면

"수학 그거다 우리의 직관을 어렵게 풀어 쓴 거다 물론 신의 선물인 직관을 훌륭하게 사용하는 툴인 건 맞는데 플라톤톤정 똥게이 새끼 말 처럼 존나 개쩌는 이데아의 유물이라 세계의 본질을 이해하고 그딴 거 없다 그니까 근들갑 ㄴㄴ"

내가 칸트를 게임체인저라고 소개한 이유 중 하나가 바로 이것이다

자 이후 수리철학은 칸트의 주장을 비판하고 옹호하며 발전아닌 발전을 해나간다

그리고 시간은 흘러 20세기

이 당시는 수학기초론에 관한 논의가 꽤나 활발했다

덕에 미적지근했던 수리철학 떡밥에도 다시 불이 붙었는데

이 당시 수리 철학에는 크게 3개의 조류가 있었다

"수학은 논리학으로 환원 가능하다"라는 입장의 논리주의

"수학은 그 자체로 참도 거짓도 아니다 그냥 기호놀이다"라는 입장의 구성주의

"수학의 정당성은 직관일 뿐이다, 형식적인 엄밀이나 논리적 참 같은 게 아니다"라는 입장의 직관주의

이들은 반 플라톤주의라는 공통적 입장을 가졌지만

"수학의 대상은 무엇인가?"

"수학의 지식을 어떡게 얻을 수 있는가?"

"수학의 본성은 무엇인가?"

하는 질문에는 다른 답변을 내놓으며 첨예하게 대립하게 된다

근대편 부터 내용이 너무 길어지기도 하고 수학적으로 사전 지식이 꽤 필요해서 2부작으로 쪼개겠음

다음편 부터는 논리 기호들이 존나 등장할 예정