Field의 characteristic은 0 또는 소수이다.

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Field의 characteristic은 0 또는 소수이다.앱에서 작성

박쥐옵

2024.03.28 19:02:53

조회 24 추천 0 댓글 0

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Field F에 대하여, multiplicative identity를 1_F,

additive identity를 0_F라 하자. Field의 정의에 의하여

1_F와 0_F는 서로 다르다.

이때 1_F를 p번 더하여 0_F가 되게하는 자연수 p가

존재한다면,가능한 p의 최솟값을 F의 Characteristc이라 정의한다.

만약 그런 자연수 p가 존재하지않는다면, F의 Characteristic은 0으로 정의한다.

<Claim> 1_F를 p번 더하여 0_F가 되게하는 자연수 p가 존재한다면, F의 Characteristic은 항상 소수이다.

<Proof>

Assume tuat F has characteristic p&p is not prime.

then p is not 1 since 1_F and 0_F are distinct by Field axiom.

thus, p>1.

p is not prime by assumption,

there is m,nㅌN s.t m>1,n>1, p=m*n

p=m*n= m+m+..+m (n - times)

Let

a = (1_F+1_F+..+1_F) (m - times)

b = (1_F+1_F+..+1_F) (n - times)

c = (a+a+..+a) (n- times)

then c=ab=0_F by assumption

However,

a#0_F since m&n<p=m*n

Then

there is a multiplication inverse (1/a)

therefore,

c=ab=0 => (1/a)*(ab)=(1/a)*0_F=0_F by field axiom

=> b=0_F

it means, 1_F+..+1_F (n - times) =0_F

it is contradiction since p=m*n is "Characteristic of F"

thus k<p => 1_F+..+1_F (k - times) is not 0_F.

By proof by contradiction ,

Characteristic of F is 1 or prime p.

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고정닉 0

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