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싱글벙글 동전 앞면 나올 확률이 3분의 1이라는 개소리
이 어그스러운 제목은 한가지 간단한 질문에서부터 시작한다. "동전 던지기를 해서 앞면이 나올 확률이 얼마입니까?" 이건 뭐 따질 것도 없이 명백하게 ½, 50%이다. 근데 이 동전던지기에 실험을 하나 추가하면 신기하게도 믿음에 혼란이 생기기 시작한다. 동전에 아무짓도 하지 않고 앞면이 나올 확률이 ⅓이 되는 기적의 실험을 알아보자. 실험의 내용은 이렇다. 1. 잠을 잘 자는 미녀와 동전을 준비한다. 2. 미녀는 일요일에 잠에 든다. 3. 미녀가 자는 동안 실험자는 동전던지기를 실행한다. 4. 만약 앞면이 나온다면 미녀를 월요일에만 깨운다. 5. 만약 뒷면이 나온다면 미녀를 월요일에 깨우고 또 잠들게 해서 화요일에 다시 한 번 깨운다. 6. 미녀는 깨어났을때 지금이 무슨 요일인지, 이전에 자신이 깨어난적이 있었는지는 기억해내지 못한다. 7. 미녀는 깨어났을때 실험내용을 이전에 통보받아서 알고있는 상태이다. 8. 미녀가 깨어난 후 실험자는 미녀에게 "당신이 자고 있는동안 던진 동전이 앞면이 나왔을 확률은 얼마입니까?" 라고 질문한다. 이 상황에서 미녀는 얼마라고 대답해야할까? 의견이 ⅓이나 ½중 하나로 갈릴 것 같은데 아마 여기까지 읽어도 당연히 ½이라고 생각하는 사람이 더 많을 것이다. 그도 그럴게 '미녀가 자든말든 동전의 결과에 아무런 영향을 끼치지 않는데 ⅓이라는건 무슨 병신같은 말장난인가?' 라고 생각할 수 있고 그게 틀린 말이 아니기 때문이다. 하지만 질문을 잘 뜯어보면 단순히 동전의 확률을 묻는게 아니라는걸 알 수 있다. 미녀가 일어났을때 그게 동전이 앞면이 나와서 생긴 결과일 확률을 묻는 것으로 해석될 수 있기 때문에, 즉, 미녀 입장에선 깨어나는 경우가 3개가 있고 그 중에 앞면인 경우는 하나기 때문에 미녀는 ⅓이라고 답할 것이라는 논리인 것이다. 여기까지 읽었을때 생각이 바뀐 사람도 있을 것이고 아마 아직 ½이라고 생각하는 사람도 있을 것이다. 그렇다면 실험을 한 번 더 해보자. 똑같은 내용이지만 뒷면이 나왔을때 미녀를 1000번 깨운다고 실험 내용을 약간 바꿔보자. 그리고 깨어난 미녀한테 묻는다. "당신이 지금 깨어났는데 동전이 앞면이 나왔을 확률은 얼마입니까?" 당신이 미녀라면 당신이 깨어난게 정말 ½의 확률로 앞면이거나 뒷면이어서 깨어났다고 할 수 있겠는가? 그렇다면 과연 정답은 ⅓인 걸까? 그러나 ⅓론자들에게도 고민하게할 거리가 있다. 이번엔 실험대상을 싱붕으로 바꿔서 다시해보자. 이번엔 동전던지기가 아니라 축구경기로 깨어나는 횟수를 정해보자. 여기 브라질과 한국이 축구경기를 한다. 근데 한국이 브라질보다 축구를 못해서 한국의 승률은 10% 브라질의 승률은 90% 라고 하자. 그리고 브라질이 이기면 싱붕이를 1번, 한국이 이기면 싱붕이를 50번 깨우는 실험이고 나머지는 미녀실험과 똑같이 자신이 이전에 몇번이나 깨어났는지 전혀 기억하지 못한다. 싱붕이는 잠에든다. .. ... ... ... 그리고 당신은 깨어났다. 실험자가 당신에게 와서 묻는다. "싱붕씨, 축구경기는 누가 이겼을까요?" 당신은 뭐라고 답할까? 지금까지 ⅓이라고 생각했던 싱붕이는 일말의 고민도 없이 한국을 골라야 했을 것이다. 하지만 아까는 ⅓이라고 생각해놓고는 지금은 망설인 이유는 무엇일까? 그렇다. 싱붕이가 방구석에서 50번을 깨던 50만번을 깨던 브라질이 이길 확률이 압도적으로 높은건 변함없는데 한국을 고른다는 결론에 도달하는건 어불성설 아닌가? 슬슬 대가리가 아파지는 싱붕이도 있을거고 이 모순의 핵심을 알아낸 싱붕이도 있을것이다. 마지막으로 실험을 한 번만 해보면 눈치채기 쉬울 것이니 한 번만 참고 다시 해보자. 이번엔 축구 실험 전체를 20번정도 반복하는 것이다. . . . . 그리고 싱붕이는 깨어날때마다 질문을 받을텐데 이번에는 깨어날때 승리한 국가를 맞추면 맞출때마다 상금으로 10만원을 준다고 해보자. 그럼 깨어났을때 어느나라가 이겼다고 하는게 이득일까?아마 대부분 싱붕이들은 깨어나면 무조건 한국이라고 할 것이다. 그야 확률적으로 20번의 경기중 브라질은 18번 정도, 한국은 2번정도 이길텐데 한국이 2번만 이겨도 싱붕이가 결과를 맞추는 횟수는 100회이기 때문이다. 그리고 이게 이 모순적인것 같은 논쟁의 핵심이다. 동전던지기에서 어떤 결과가 나올 확률과 내가 어떤 결과일지 맞출 경우의 수의 개수는 다른 개념이라는 것이다. 어쩌면 병신같은 말장난이라고 느껴질지도 모르지만 놀랍게도 이 문제에 대해서 논문만 수백편이나 나왔다고 한다. 어차피 싱붕이들은 10줄 이상의 비혐오글은 안읽는거 알지만 그래도 열심히 써봤다. 이 글은 유튜버 Veritsium의 영상을 보고 내용을 조금 바꾸고 요약해서 쓴 글이다. 참고 영상: https://youtu.be/F34ATJZVz-M
작성자 : ㅇㅇ고정닉
한동훈 매일경제 인터뷰
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